sandyt: 2013

lunes, 6 de mayo de 2013

Demuestra que SEN x/CSC x + COS x/SEC x =1

SENx COS x
_____ + _____ =1 SEN^2 x+ COS^2x = 1
1 1
__ __
SENx COS x 1=!

SEN x COS x
____ _____
1 1
______ + ________ =1
1 1
____ ____
SEN x COS x

--->Ecuacion trigonometrica
*Se puede obetener el resultado de las ecuaciones de forma trigonometrica:
4sen 30°+2cos 60°-5sen 45° +3tan 60°=
4(0.5)+2(0.5)-5(o.7)+3(1.73)
2+1-3.5+5.19=4.69

--->Identidades trigonometricas
*Existen teres funciones fundamentales en la trigonometria (seno, coseno, tangente) y tres funciones resiprocas (cosecante, secante, contangente)

Fundamentales: Reciprocas:
1/SEN = CSC 1=CSC*SEN

1/COS = SEC 1=SEC*COS

1/TAN = COT 1=COT*TAN

--->Identidad de division
*Division: Pitagoricas:

SEN/COS = TAN SEN^2+COS^2=1

COS/SEN = SEN TAN^2+1=SEN^2

Aplicaciones trigonometricas

--->Determina la altura del triangulo que se presenta en la siguiente figura

SEN 40.5= CO/16

16 SEN40.5=CO

10.39=CO

--->Un rectangulo mide 45 cm de largo y 24 cm de ancho ¿Cual es el valor del angulo que forma el largo por una de las dioagonales?

TAN=24/45=.5

=Tan(.5)

=26.56

Funciones trigonometricas

Si tenemos un triangulo rectangulo podemos aplicar las funciones trigonometricas y las medidas de sus lados

--->SEN: CO/H

--->COS: CA/H

--->TAN: CO/CA

--->CSC: H/CO

--->SEC: H/CA

--->COT: CA/CO

*Determina las funciones trigonometricas

--->SEN: 3/5 =0.6

--->COS: 4/5 =0.5

--->TAN: 3/4 =0.75

--->CSC: 5/3 =1.66

--->SEC: 5/4 =1.25

--->COT: 4/5 =0,8

--->c^2=5^2+5^2
c^2=25+25 A=49.98
c=raiz(50)
C=7.07

---->c^2=29.6^2+22.2^2 P=116.2592

c^2=876.16+482.84

c=raiz(1369) A=1075.21

C=39

--->Calcula el area total de un cono considerando que el radio mide 15 cm y su base mide 40cm

V=3.1416(15^2)(40)

V=3.1416(225)(40)

V=3.1416(900)

V=28274.4/3

V=9424.8

--->El radio de la base de un cono es de 15cm y su volumen de 2700cm^3 ¿Cual es su altura?

h=2700(3)

______

(3.1416)15^2

h=27000(3)

_______

706.5

h=11.46

Volumen

--->VOLUMEN: Magnitud escalar definida como le espacio ocupado por un objeto. Es una funcion derivada de longitud ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.

--->V=(pi*r^2)(h)

--->V=pi*r^2*h

_______

--->V=areabase*h

--->V= 4(pi*r^2)

--->V=a^3

--->V=areabase*h

________

--->Obtener la diagonal, el perimetro y el area del cuadrado si su lado mide 5

c^2=a^2+b^2

c^2=25+25 P=20

c=raiz(50) A=25

C=7.07

--->Obtener el perimetro y el area del trapecio isoceles, cuya base mayor es 10, la base menor es 4 y 6 de lado

*a^2=c^2-b^2

a^2=36-9

a=raiz(27)

A=5.19

*h(B+b)

_____

=5.19(4+10)

_____

=5.19(7)

X=36.33

--->Obtener el perimetro y el area del pentagono regular con 6cm de lado y 5cm de radio

*a^2=c^2+b^2

a^2=25-9

a=raiz(12)

A=3.46

*A=n{(b)(a)}

_______

A=5(12)

____

A=60

--->Para obtener el perimetro se suman las longitudes de los lados.

--->Areas: Para calcular el area de un poligono irregular debemos dividirlas en figuras basicas para conseguir areas parseales; Luego se suman esas areas para obtener el total.

--->TRIANGULO: (b)(h)

_____

--->CUADRADO: (L)(L)

---->CIRCULO: (pi)(r^2)

---->ROMBO: (D)(d)

_____

---->RECTANGULO: (b)(h)

---->TRAPECIO: h {(B+b)}/2

domingo, 5 de mayo de 2013

--->Encuentra la altura de un triangulo isoceles si sus lados iguales miden 10 y su base mide 16

10^2=8^2+x^2

100-64=x^2

36=x^2

Raiz(36)=x

8=X

--->

12^2=9^2+x^2

144=81+x^2

144-81=x^2

Raiz(63)=x

7.9=X

--->Determina el valor de a y b

*c=30

a=2x+4

b=3x-2

*c^2=a^2+b^2

c=(30)^2=900

a=(2x+4)^2=4x^2}16x+16

b=(3x+2)^2=9x^2-12x+4

*900=4x^2+16x+16+9x^2-12x-12x

900=13x^2+4x+20

=13x^2+4x+20-900=880

*X=+4+/-raiz{4^2-4(13)(-880)}/2(13)

X=-4+/-raiz{16+45760}/26

X=-4+/-raiz{45776}/26

X=-4+213.95/26

X=-8.38

--->A=20.15

--->B=22.225

Teorema de pitagoras

Si se tiene un triangulo rectangulo erntonces el cuadrado de la hipotenusa es igual ala suma de los cuadrados de los catetos.

---->Hipotenusa: Lado mas grande
--->Cateto adyacente: El que esta alado del angulo
--->Cateto opuesto: El que esta enfrente del angulo

*H^2=CO^2+CA^2

c^2=12^2+5^2

c^2=144+25

c^2=169

c=Raiz(169)

C=13

Suma de los angulos internos de un poligono cualquiera

Considerando que un poligono se puede dividir en cierta cantidad de triangulos y aplicando el teorema de la suma de los angulos internos de un triangulo podemos entender los grados de cada poligono

--->Pentagono "5": 3(180)=340°

--->Hexagono "6": 4(180)=720°

--->Eptagono "7": 5(180)=900°

--->Octagono "8": 6(180)=1080°

--->Enagono "9": 7(180)=1260°

--->Decagono "10": 8(180)=1440

(numero de lados-2)180

Congruencia de angulos

--->Teoremas
*Los complementos de un angulo congruente, tambien son congruentes

*Los angulos complementarios son congruentes a los angulos suplementarios congruentes

--->Angulos opuestos al vertice

--->Angulos de rectas paralelas cortadas por una secante

Congruencia de triangulos

*Dos triangulos son semejantes cuando tiene la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, tambien se dice que son semejantes cuando los angulos respectivamente son congruentes y sus lados homologos son proporcionales.

ABC=DEF

A_B=4.55

________ =1.55

D_E=2.96

B_E=6.01

________ =1.55 --->Postulado LLL

E_F=3.86 AB BC AC

____ = ___ = ___ = K

A_C=5.74 DE EF DF

________ =1.55

D_F=3.66

<A= <D =70°

<C= <F =46° ---->Postulado AAA

<D= <E =64°

A_B A_C

____ = _____ =K ---->Postulado LAL

D_E DF

<A =<D =70°

Congruencia y semejanza

--->Dos triangulos son congruentes si tiene el mismo tamaño y forma, de tal manera que si superponemos el unos con el otro coinciden perfectamente de la misma manera.

Vertice Angulo Lado

A=D <a=<d A_B=D_E

B=E <b=<e B_C=E_F

C=F <b=<f A_C=D_F

---->Apartir de los postulados obetenr el valor de "X"

Triangulo Lados Angulo

I I,x 60° 3y=60

II I,x 3y y=20

I II,x 2x 2x=24

II II,x 24° x=12

Circulos

*Obtener el centro de un circulo:

--->Se trazan dos cuerdas

-->Trazar la mediatriz de ambas

--->La interceccion de ambas sera el centro del circulo

*Construir la tangente que pase sobre el punto que se encuentra sobre la circunferencia:

--->Encontrar el centro con los pasos anteriores (-Se trazan dos cuerdas, -Trazar la mediatris de ambas, -La interseccion de ambas sera el centro del circulo)

--->Trazar radio OA

--->Trazar una prpendicular al segmento OA

*Construir la tangente de la circunferencia con un punto fuera de ella:

--->Encontrar el centro

--->Trazar un segmento OP

--->Obtener el punto medio de OP

--->Centrar el compas en el punto medio y abrirlo con longitud al punto medio

--->Intersectar en dos puntos la circunferencia

--->Trazar un segmento A_P y B_P, ambas son tangentes al circulo

Rectas importantes de una circunferencia

--->Circunferencia: Linea curva y cerrada donde todos sus puntos estan a igual distancia dentro del centro.

--->Radio: Mitad del diametro

--->Cuerda: Segmento de una recta, cuyos extremos son dos puntos de la curva

--->Diametro: Segemento que pasa por el centro y une dos puntos opuestos

--->Tangente: Recta que toca a la curva de un punto dado "angulo nudo"

--->Secante: Recta que corta a una circunferencia en dos puntos.

Poligonos

* POLÍGONOS:

Son figuras que tienen "n" lados, pueden ser polígonos regulares y polígonos irregulares.

---> Construcción de un cuadrado:

*Trazar un diámetro

*Al diámetro hay que trazar una perpendicular que pase por el centro del circulo

*Unir A,B,C,D

---> Constricción de un octágono:

*Trazar un diámetro

*Al diámetro hay que trazar tres perpendiculares que pasen por el centro del circulo

*Unir A,B,C,D,E,F,G,H

---> Construcción de un triangulo:

*Trazar un diámetro

*Sacar Mediatriz

*unir los 3 puntos

---> Construcción de un hexágono

*Trazar un diámetro

*Sacar una perpendicular

*Sacar las dos mediatrises de la perpendicular

*Unir los 6 puntos

---> Construcción de un decagono:

*Trazar una diámetro

*Trazar una perpendicular

*Sacar mediataris de la perpendicular

*Sacar mediatriz del diámetro

Rectas y puntos notables en un triangulo

--->Si en un triangulo se trazan las medianas de cada lado, estas se intersectan en un punto llamado CIRCUNCENTRO que es el centro de la circunferencia circunscrita (los tres vertices del triangulo pertenecen ala circunferencia)

--->Si en un triangulo se trazan las 3 bisectrices se intersectaran en un punto llamado INSENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita, que es tangente con llos 3 lados del triangulo.

--->El BARICENTRO esta ubicado en el centro del triangulo y puede contener a miles de rectas.

--->El punto de corta de las alturas de un triangulo se llama ORTOCENTRO.

Triangulos congruentes

Los triangulos son congruentes si cumplen con algunos de los siguientes postulados:

--->LAL: Si dos lados y el angulo comprendido de un triangulo son respectivamente iguales con 2 lados y el angulo comprendido de otro triangulo, podemos afirmar que los dos triangulos son congruentes.

--->ALA: Si dos angulos y el lado comprendido de un triangulo son respectivamente congruentes con los dos angulos y el lado comprendido de otro triangulo, entonces los triangulos son congruentes.

--->LLL: Si los 3 lados de un triangulo son respectivamente congruentes con los 3 lados del otro triangulo, entonces ambos triangulos son congruentes.

Triangulos

--->Mediatrices de un triangulo: Segmento perpendicular al lado de un triagulo por su punto medio

--->Bicsectrices de un triangulo: Cada una de las rectas que divide a un triangulo en dos partes iguales

--->Alturas de un triangulo: Cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde el vertice al lado opuesto.

--->Medianas de un triangulo: Cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vertice opuesto.